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Dernière mise à jour : 04/03/2006 11:24

Plaidoyer pour l'écriture vectorielle

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J'enseigne les sciences industrielles pour l'ingénieur en classes préparatoires, et à ce titre, nous recevons des étudiants issus d'un baccalauréat scientifique. Deux profils existent :

• des étudiants n'ayant jamais fait de sciences industrielles avant le baccalauréat ;
• des étudiants ayant choisi <<l'option>> sciences industrielles en première et terminale.

Les seconds posent problèmes quand il s'agit de noter les vecteurs et surtout les torseurs. En effet, les enseignants du secondaire ont la <<fâcheuse>> habitude de noter un torseur sous la forme coordonnées :

Bien sûr, cette écriture est tout à fait correcte, mais elle n'est plus efficace lorsque interviennent plusieurs repères dans les modélisations . Les étudiants ont alors beaucoup de difficultés à effectuer des sommes de torseurs ou bien à faire le calcul d'un produit vectoriel. Cette écriture est donc à bannir dès que plusieurs bases sont en présence dans un problème.

Ça y est, pour la première fois, cette année 2002, il n'y a plus aucun concours d'entrée dans les écoles d'ingénieurs qui propose comme notation des torseurs, cette notation coordonnées. Il reste encore les concours communs Mines-Ponts, les concours communs polytechniques et le concours d'entrée à l'ESIM qui proposent les deux notations : vectorielles et coordonnées. Tout rentre dans le bon ordre. Reste à convaincre maintenant les enseignants de sciences industrielles pré-baccalauréat de l'efficience de la notation vectorielle.

Rappelons, tout d'abord, que l'on peut noter un torseur suivant les trois formes :

La première écriture est la forme générale des torseurs. La deuxième évite l'écriture <<extérieure>> de la base, et il est possible d'exprimer le vecteur résultante et le champ de moment à partir de n'importe quel vecteur et ne limite pas à l'utilisation d'une base. La troisième forme est l'expression en coordonnées, qui reste encore dominante dans le secondaire.

Prenons un exemple maintes fois traité, celui de la centrifugeuse.

Le repère R₀(O,x₀,y₀,z₀) est lié au bâti S₀. Le solide S₁ est en liaison pivot d'axe (O,x₀) avec le bâti S₀. On lie au solide S₁ le repère R₁(O,x₁,y₁,z₁). Le solide S₂ est en liaison pivot d'axe (A,z₁) avec le solide S₁. On lie au solide S₂ le repère R₂(A,x₂,y₂,z₂). On pose : OA = ay₁ et AG₂ = bx₂.

Calculons le torseur cinématique (aussi appelé distributeur des vitesses) du solide S₂ dans son mouvement par rapport à R₀ au point G₂. Il s'agit là d'un problème qu'il faut absolument traiter en notation vectorielle !

Notons

le torseur cinématique cherché. Le taux de rotation se trouve aisément :

Le calcul de v(G₂/R₀) peut s'obtenir par dérivation temporelle du vecteur position du point G₂. On a :

c'est-à-dire :

et finalement :

Le torseur cherché s'écrit donc :

Les calculs ont été réalisés sans douleur ; imaginez qu'ils aient été conduits à l'aide de la notation en coordonnées : pour effectuer les produits vectoriels, il aurait été nécessaire de projeter les vecteurs dans une même base avant de réaliser les calculs : complication inutile et source d'erreurs, déjà nombreuses par ailleurs !

Voir par exemple le calcul du torseur cinématique en notation coordonnées.

On vérifierait également sur des problèmes de statique et de dynamique des solides indéformables, et peut-être même plus, l'efficacité de la méthode vectorielle par rapport à la méthode des coordonnées ou composantes !

Je ne pense pas qu'il soit plus difficile au niveau première et terminale S d'utiliser les torseurs avec la notation vectorielle plutôt que la notation en coordonnées. C'est une question d'habitude qu'il serait bon de prendre dès la première, afin de ne pas changer de notations dans le supérieur. En BTS et en IUT, la notation vectorielle est assez utilisée également et il ne serait peut-être pas inutile de présenter la notation vectorielle au niveau STI également.

Je sais que je ne pourrais pas convaincre tout le monde, parce que la méthode des coordonnées semble plus parlante au départ que la méthode vectorielle et que des élèves du secondaire risquent d'avoir plus de difficultés à l'assimiler. L'expérience reste peut-être à tenter, au moins au niveau du baccalauréat S !