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Dernière mise à jour : 04/03/2006 11:25

Rendement et inertie équivalente

Petit rappel

But de cette page

Ne pas appeler "inertie équivalente" une expression dans laquelle figure le rendement.

Problème posé

On considère le système suivant composé d'un moteur M dont le rotor est encastré à l'entrée d'un réducteur à un engrenage cylindrique droit. On se place en phase de démarrage.

On note R_g le repère supposé galiléen lié au carter du réducteur.

L'inertie de l'arbre moteur par rapport à son axe est notée J₁.

L'inertie de l'arbre de sortie du réducteur par rapport à son axe est notée J₂.

On note respectivement w₁ et w₂ les taux de rotation des arbres d'entrée et de sortie du réducteur.

Le rapport de réduction du réducteur sera noté .

Le couple exercé par le moteur sur son rotor est noté C₁.

On suppose que toutes les liaisons sont parfaites sauf la liaison du contact entre les dents des roues dentées. On note h le rendement de cette liaison. On rappelle que le rendement d'un système est le rapport entre l'énergie de sortie du système et son énergie d'entrée, ou, ce qui revient au même, le rapport entre la puissance à la sortie du système et la puissance à son entrée. On notera P_f (P_f > 0) la puissance perdue par frottement au niveau du contact entre les dents de l'engrenage.

Au démarrage, w₁ = w₂ = 0, C₁ = 0.

J'appelle rendement, le rapport entre la puissance fournie moins les pertes par frottement et la puissance fournie par le moteur. Attention donc, je considère, dans cette définition que la variation d'énergie cinétique est un stockage ; elle est donc "utile" dans ce sens, mais d'autres définitions sont possible en ne considérant "utile" que la puissance utilisée après le réducteur. Ces définitions posent d'ailleurs un problème en régime transitoire (voir : http://www.listepgm.org/index.php?page=publis.htm). De toute manière cela ne change en rien l'objectif fixé qui est de ne pas appeler "inertie équivalente" un terme dans lequel apparaît le rendement.

Question : Déterminer la relation entre le couple d'entrée et les autres paramètres du problème.

Méthode de résolution

Une résolution énergétique est adaptée à ce problème. Nous allons appliquer le théorème de l'énergie-puissance (théorème de l'énergie cinétique) à l'ensemble en mouvement. Calculons le double de l'énergie cinétique. On a

Calculons la puissance des actions mécaniques extérieures au système par rapport au repère galiléen

Calculons la puissance des actions intérieures

Le théorème s'écrit

et dans notre cas

Calculons la puissance perdue par frottement en fonction du rendement. On a

dans laquelle P_u désigne la puissance utile sur l'arbre de sortie du réducteur, et P_a désigne la puissance absorbée, qui, dans notre étude s'écrit  .

On en tire

D'où le résultat final

On note alors, couramment, inertie équivalente, le terme . Le terme hC₁ représente le couple efficace (ou efficient) du moteur.

Remarque importante

On trouve dans la littérature ou sur certains sites, des démonstrations douteuses qui font apparaître le rendement au dénominateur du second terme. L'erreur commise se situe au niveau du rendement.

Ce résultat est fondamentalement inexact. Un rendement est défini (généralement, en mécanique) à partir de travaux ou de puissances, c'est-à-dire  à partir d'actions mécaniques : c'est de la dynamique. Une inertie est définie indépendamment de toute notion d'action mécanique c'est une notion de cinétique et ne doit donc pas apparaître dans un terme d'inertie équivalente.

Il faut donc bannir l'équation suivante

Une résolution par les méthodes de Newton ou de Lagrange conduit, bien évidemment, au même résultat.

Euler, a défini les moments d'inertie en 1736

un clic sur le portrait d'Euler, vous enverra vers un document pdf vous montrant l'absurdité de la prise en compte du rendement dans l'inertie équivalente